AI가 수론의 미스터리를 풀다: 거대 언어 모델과 앙상블 학습의 만남

Ali Saraeb의 연구는 AI, 특히 LLM과 앙상블 학습 기법을 활용하여 수론 문제 해결에 혁신적인 접근 방식을 제시했습니다. LLM은 수론 알고리즘 생성에 높은 정확도를 보였고, 앙상블 학습은 디리클레 특성에 대한 새로운 추측을 제시하는 데 기여했습니다. 이 연구는 수론 연구의 새로운 시대를 열 것으로 기대됩니다.

최근 AI의 눈부신 발전은 수학의 난공불락으로 여겨졌던 수론 분야에도 파란을 일으키고 있습니다. Ali Saraeb의 연구는 이러한 흐름을 잘 보여주는 사례입니다. 논문 "Artificial Intelligence in Number Theory: LLMs for Algorithm Generation and Ensemble Methods for Conjecture Verification"에서 그는 AI, 특히 거대 언어 모델(LLM)을 활용하여 수론 문제 해결에 혁신적인 접근 방식을 제시했습니다.

Part I: LLM을 이용한 알고리즘 생성

연구의 첫 번째 부분은 Qwen2.5-Math-7B-Instruct라는 최첨단 LLM을 사용하여 30개의 알고리즘 문제와 30개의 계산 문제를 풀었습니다. 놀랍게도, 최적의 힌트를 제공했을 때 모든 문제에서 0.95 이상의 정확도를 달성했습니다. 힌트 전략을 고정했을 때도 알고리즘 문제와 계산 문제에서 각각 0.88과 0.89의 평균 정확도를 기록하며 LLM의 수론 문제 해결 능력을 입증했습니다. 연구팀은 이 연구를 위해 Hinted Algorithmic Number Theory (HANT) 데이터셋을 공개하여 다른 연구자들의 추가 연구를 지원하고 있습니다. (doi:10.5281/zenodo.15293187)

Part II: 앙상블 학습을 이용한 추측 검증

두 번째 부분은 디리클레 특성(Dirichlet character)의 초기 비자명 영점(non-trivial zeros)에 대한 오랜 추측을 검증하는 데 초점을 맞췄습니다. LMFDB 데이터를 활용하여 초기 영점으로부터 특징 벡터를 추출하고, 디리클레 특성의 모듈러스(modulus, q)를 레이블로 하는 분류 문제를 설정했습니다. 피드포워드 신경망과 랜덤 포레스트 분류기를 결합한 메타 앙상블(meta-ensemble)을 통해 놀랍게도 1.0의 완벽한 테스트 정확도를 달성했습니다. 이 결과를 바탕으로 연구팀은 두 가지 새로운 추측을 제시했습니다. (i) 각 디리클레 L-함수의 비자명 영점에는 숨겨진 통계적 패턴이 존재한다. (ii) 같은 모듈러스를 공유하는 L-함수의 영점 사이에는 기저 통계적 연결이 존재한다. 이 연구의 코드와 데이터 또한 공개되어 있습니다. (doi:10.5281/zenodo.15293203)

결론: 수론 연구의 새로운 시대

이 연구는 AI가 수론 연구에 기여할 수 있는 잠재력을 보여주는 중요한 이정표입니다. LLM을 이용한 알고리즘 생성과 앙상블 학습을 통한 추측 검증은 수론 문제 해결에 새로운 가능성을 열었습니다. 특히, 디리클레 특성의 영점에 대한 통계적 패턴 분석은 수론 연구의 새로운 방향을 제시하고 있으며, 앞으로 AI와 수론의 융합 연구가 더욱 활발하게 진행될 것으로 예상됩니다. 이러한 연구는 수론의 미스터리를 풀고 수학의 새로운 지평을 여는 데 크게 기여할 것으로 기대됩니다.